Sylvain Maillot 3-orbifolds with positive scalar curvature
I will present results on the question of which compact orientable 3-dimensional orbifolds admit a metric of positive scalar curvature (PSC). In particular I will show that there exists a family of 3-orbifolds with free fundamental group which are not PSC, a phenomenon that does not exist for 3-manifolds.
This is joint work with L. Bessières, I. Mondello and T. Richard.
Francesca Oronzio Harmonic functions in noncompact 3-manifolds with non-negative scalar curvature
In this talk, we describe some monotonicity formulas holding along the regular level sets of suitable harmonic functions in complete, noncompact, one-ended 3-manifolds, whose topology is sufficiently simple, with nonnegative scalar curvature and with minimal, compact, connected boundary if the boundary is present. Using such the formulas, we obtain a simple proof of the celebrated positive mass theorem and a capacity-to-area inequality. This talk is based on some results obtained by a collaboration with V. Agostiniani and L. Mazzieri, and on a work in progress.
Grégoire Cha Monotonicity formula for static asymptotically locally hyperbolic conformally compact manifolds.
In 2020 S. Borghini gives a new proof of a 3-dimensional static black hole uniqueness theorem for nonpositive masses based on a monotonicity formula. This method is used since 2015 to derive geometric inequalities on static manifolds. In this talk, I will present the method of the cylindrical ansatz for arbitrary dimension n>=3 for static asymptotically locally hyperbolic conformally compact manifolds. We derive a geometric inequality which relates the area of the conformally compact boundary at infinity and the compact horizon of such manifolds. This result was anticipated in S. Borghini's paper.
After a brief history of the method, I will outline the proof of the monotonicity formula, and I will make some comments on the limits of the method in the case of such manifolds.
Teo Gil Moreno de Mora i Sarda Metric generalisations of scalar curvature.
A fundamental question in Riemannian geometry consists in understanding the topology and the geometry of Riemannian manifolds of positive scalar curvature. I will present two different metric generalisations of the property of having positive scalar curvature. The first one is based on an estimate on the filling discs of closed curves. The second one, introduced by Guth, is defined the volume of geodesic balls of a fixed radius. I will also show how these generalisations can be used to study the topology of 3-manifolds of positive scalar curvature and to estimate the size of topologically non-trivial hypersurfaces, respectively.
Thomas Richard Désingularisation d’orbifolds à lieu singulier de codimension 2.
Un orbifold Riemannien de dimension 3 (O,g) donne naturellement lieu à une distance d sur la variété topologique sous-jacente |O|. C’est une question intéressante de savoir si cet espace métrique (|O|,d) peut-être approché par des métriques Riemanniennes lisses, en gardant les mêmes bornes inférieures sur la courbure scalaire que celle connues sur (O,g). On montrera comment réaliser ce projet quand la strate de dimension 0 de O est vide (le lieu singulier est purement de codimension 2) en se basant sur une construction due à Aubin : remplacer la métrique g par g-df^2. Ceci nous permettra d’obtenir une métrique C^0 et à courbure scalaire minorée sur le lieu lisse. On donnera deux stratégies possibles pour passer outre le lieu singulier.
Gérard Besson et Laurent Bessières Variétés de Poenaru-Mazur (ou Mazur) et courbure scalaire positive
Dans ces deux exposés, on présente une partie de l'article https://arxiv.org/abs/2407.05574 de Chodosh-Maximo-Mukherjee sur les variétés de dimension 4 admettant des métriques complètes à courbure scalaire uniformément positive (UPSC). On y étudie celles qui sont compactes contractiles d'intérieur UPSC. Un cas particulier est celui des variétés de Mazur, qui sont compactes contractiles décomposables en une 1-anse et une 2-anse. Leur intérêt est de fournir des exemples de variétés de dimension 4 compactes contractiles non homéomorphes à $B^4$.
Partie 1 (Gérard Besson) : variétés compactes contractiles et variétés de Mazur.
Programme : le bord d'une variété de dimension 4 compacte contractile est une sphère d'homologie. Poenaru puis Mazur ont donné des exemples compactes contractiles dont le bord n'est pas simplement connexe. Nous discuterons le cas des variétés de Mazur dont le bord est somme connexe de copies de la sphère de Poincaré. Une variété de Mazur homéomorphe à $B^4$ lui est difféomorphe, il n'y a donc pas de boule exotique parmi ces variétés. Rappelons que l'existence de structures différentiables exotiques sur $B^4$ est une question ouverte.
Partie 2 (Laurent Bessières) : mu-bulles et variétés de dimension 4 complètes à courbure scalaire uniformément positive (UPSC)
A l'aide de mu-bulles, on montre qu'une variété de dimension 4 compacte contractile dont l'intérieur est UPSC est homéomorphe à $B^4$, avec le corollaire qu'une variété de Mazur dont l'intérieur est UPSC est difféomorphe à $B^4$.
